Question

10．如圖，在菱形ABCD中，O為對角線AC與BD的交點，M、N分別是OA、OC的中點．
（1）四邊形BMDN是怎樣的四邊形？說明你的理由．
（2）當$\frac{AD}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，四邊形BMDN是正方形．（不要說明理由）

Answer 1

分析 （1）由O是菱形ABCD的對角線AC、BD的交點M、N分別是OA、OC的中點，易證得四邊形BMDN是平行四邊形，由對角線互相垂直，即可得出結論；
（2）由正方形的性質得出OB=OD=OM=AM，設OB=OD=OM=AM=1，由勾股定理求出AD，即可得出結果．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC⊥BD．
∵M、N分別是OA、OC的中點，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA，ON=$\frac{1}{2}$OC，
∴OM=ON，
∴四邊形BMDN是平行四邊形，
又∵MN⊥BD，
∴四邊形BMDN是菱形；
（2）當$\frac{AD}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，四邊形BMDN是正方形．理由如下：
∵四邊形BMDN是正方形，
∴OB=OD=OM=AM，
設OB=OD=OM=AM=1，
則AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定、正方形的性質、勾股定理；熟練掌握菱形的判定與性質，由勾股定理求出AD是解決問題（2）的關鍵．