Question

【題目】如圖，點A、B、C在同一直線上，△ABD，△BCE都是等邊三角形．

（1）求證：AE=CD；

（2）若M，N分別是AE，CD的中點，試判斷△BMN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）△MBN是等邊三角形．

【解析】整體分析：

(1)利用SAS證明△AOC≌△BOD，則有AE＝CD；(2)由△ABE≌△DBC，可證△ABM≌△DBN，從而得BM＝BN，∠MBN＝60°.

(1)證明：∵△ABD、△BCE都是等邊三角形，

∴AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，

∴∠ABD＋∠DBE＝∠DBE＋∠CBE即∠ABE＝∠DBC，

∴在△ABE和△DBC中，

△ABE≌△DBC(SAS)．

∴AE＝CD．

(2)解：△MBN是等邊三角形，理由如下：

∵△ABE≌△DBC，

∴∠BAE＝∠BDC．

∵AE＝CD，M、N分別是AE、CD的中點，

∴AM＝DN；

又∵AB＝DB．

∴△ABM≌△DBN．

BM＝BN．

∠ABM＝∠DBN．

∴∠DBM＋∠DBN＝∠DBM＋∠ABM＝∠ABD＝60°．

∴△MBN是等邊三角形．