Question

【題目】如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．

（1）如圖1，請你寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系；

（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點O，連接AP，BO．猜想并寫出BO與AP所滿足的數量關系和位置關系，并說明理由；

（3）將△EFP沿直線l繼續向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點O，連接AP，BO．此時，BO與AP還具有（2）中的數量關系和位置關系嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AP=AB，AP⊥AB；（2）AP=BO，AP⊥BO；（3）AP=BO，AP⊥BO．

【解析】整體分析：

(1)根據△ABC與△EFP是全等的等腰直角三角形，判斷△ABP是等腰直角三角形；(2)用SAS證明△ACP≌△BCO得到AP＝BO，∠CAP＝∠CBO，結合三角形的內角和可得BO⊥AP；(3)結合與理由和(2)類似.

解：(1)∵AC⊥BC，且AC＝BC，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP．

∴△ABC與△EFP是全等的等腰直角三角形，

∴∠BAC＝∠CAP＝45°，AB＝AP，

∴∠BAP＝90°，

∴AP＝AB，AP⊥AB；

(2)AP＝BO，AP⊥BO．理由如下：

延長BO交AP于H點，如圖2

∵∠EPF＝45°，

∴△OPC為等腰直角三角形，

∴OC＝PC，

∵在△ACP和△BCO中

∴△ACP≌△BCO(SAS)，

∴AP＝BO，∠CAP＝∠CBO，

又∵∠AOH＝∠BOC，

∴∠AHO＝∠BCO＝90°，

∴AP⊥BO，

即BO與AP所滿足的數量關系為相等，位置關系為垂直；

(3)BO與AP所滿足AP＝BO，AP⊥BO．理由如下：

延長OB交AP于點H，如圖3，

∵∠EPF＝45°，

∴∠CPO＝45°，

∴△CPO為等腰直角三角形，

∴OC＝PC，

∵在△APC和△OBC中，

∴△APC≌△BOC(SAS)，

∴AP＝BO，∠APC＝∠COB，

而∠PBH＝∠CBO，

∴∠PHB＝∠BCO＝90°，

∴BO⊥AP，

即BO與AP所滿足的數量關系為相等，位置關系為垂直．