Question

12．已知，如圖1，點A、B分別在x軸、y軸正半軸上，∠OAB、∠OBA的平分線相交于點E，分別交x軸、y軸于點D、C．
（1）求∠AEB的度數；
（2）如圖2，過E作PE⊥AC交y軸于P，交x軸于Q，連CQ，求∠PCQ與∠ABO的數量關系．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義以及三角形內角和定理，即可求得∠AEB的度數；
（2）先連接OE，根據點E是△ABO的內心，以及C、O、Q、E四點共圓，求得∠EOQ=∠ECQ=45°，再根據∠CED=∠AEB=135°，得出∠ECQ+∠CED=180°，進而判定CQ∥BD，得出∠PCQ=∠OBD，最后得到∠PCQ=$\frac{1}{2}$∠ABO．

解答 解：（1）如圖1，∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵∠OAB、∠OBA的平分線相交于點E，
∴∠EBA+∠EAB=$\frac{1}{2}$∠ABO+$\frac{1}{2}$∠BAO=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠BAO）=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴△ABE中，∠AEB=180°-45°=135°；

（2）如圖2，連接OE，則根據點E是△ABO的內心可得，OE平分∠AOB，
∴∠EOA=45°，
∵PE⊥AC于E，∠COQ=90°，
∴C、O、Q、E四點共圓，
∴∠EOQ=∠ECQ=45°，
∵∠CED=∠AEB=135°，
∴∠ECQ+∠CED=180°，
∴CQ∥BD，
∴∠PCQ=∠OBD，
又∵∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∴∠PCQ=$\frac{1}{2}$∠ABO．

點評 本題主要考查了三角形內角和定理以及平行線的判定，解決問題的關鍵是運用四點共圓進行求解．解題時注意：三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角；將四點連成一個四邊形，若對角互補，那么這四點共圓．