Question

（1）如圖（1），點M，N分別在等邊△ABC的BC，AC邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．求證：∠BQM=60°．
（2）判斷下列命題的真假性：
①若將題（1）中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②若將題（1）中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？（如圖2）
③若將題（1）中的條件“點M，N分別在正△ABC的BC，AC邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM=60°？（如圖3）
在下列橫線上填寫“是”或“否”：①

是

；②

是

；③

否

．并對②，③的判斷，選擇其中的一個給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形性質得出AB=AC，∠ABC=∠C=60°，根據SAS證△ABM≌△BCN，推出∠NBC=∠BAM，求出∠BAM+∠ABN=60°即可；
（2）①根據∠BQM=60°和∠ABC=60°求出∠BAM=∠CBN，推出△BCN≌△ABM即可；
②同樣還是根據條件判定△ACM≌△BAN，得到∠AMC=∠BNA，所以∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，即∠BQM=60°；
③同上，證明Rt△ABM≌Rt△BCN，得到∠AMB=∠BNC，所以，∠QBM+∠QMB=90°，∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．

解答：（1）證明：在△ABM和△BCN中，

BM=CN ∠ABM=∠BCN AB=BC

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60；

（2）解：①是；②是；③否；
②的證明：如圖，
在△ACM和△BAN中，

CM=AN ∠ACM=∠BAN=120° AC=AB

，
∴△ACM≌△BAN（SAS），
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°；
③的證明：如圖，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，

BM=CN ∠ABC=∠C AB=AC

，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（SAS），
∴∠AMB=∠BNC．
又∵∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．

點評：主要考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定及性質；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．