Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P沿邊AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t s．問：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)△PBQ的面積等于8cm²？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)△DPQ是直角三角形？
（3）是否存在t的值，使△DPQ的面積最小，若存在，求此時(shí)t的值及此時(shí)的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AP=t，QB=2t，PB=6-t，△PBQ的面積等于8cm²，列出關(guān)于t的方程進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)∠PDQ＜90°，需要分兩種情況進(jìn)行討論：∠DPQ=90°或∠PQD=90°，分別求得t的值即可；
（3）根據(jù)AP=t，QB=2t，PB=6-t，可得S_△DPQ=S_梯形ABQD-S_△APD-S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（2t+12）×6-$\frac{1}{2}$×12×t-$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=t²-6t+36，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得當(dāng)t=3時(shí)，S_△DPQ有最小值27．

解答 解：（1）由題意得AP=t，QB=2t，PB=6-t．
∵△PBQ的面積等于8cm²，
∴$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=8，
∴解得t=2或t=4，
又∵0≤t≤6，
∴當(dāng)t=2s或t=4s時(shí)，△PBQ的面積等于8cm²．

（2）當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P，Q分別與點(diǎn)A，B重合，
此時(shí)，∠DPQ=∠DAB=90°，△DPQ是直角三角形；
當(dāng)PQ⊥DQ時(shí)，∠PQB=∠QDC，∠B=∠C，
∴△BPQ∽△CQD，
∴$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{BQ}{CD}$，即$\frac{6-t}{12-2t}$=$\frac{2t}{6}$，
∴2t²-15t+18=0，
解得：t=$\frac{3}{2}$或6，
故當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，△PQD是直角三角形；當(dāng)t=6時(shí)，P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)、Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí)∠PQD=∠BCD=90°，即△PQD是直角三角形．
綜上所述，當(dāng)t的值為0秒或$\frac{3}{2}$秒或6秒時(shí)，△DPQ是直角三角形；

（3）存在t的值，使△DPQ的面積最小．
由題意得AP=t，QB=2t，PB=6-t，
∴S_△DPQ=S_梯形ABQD-S_△APD-S_△BPQ
=$\frac{1}{2}$（2t+12）×6-$\frac{1}{2}$×12×t-$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t
=t²-6t+36
=（t-3）²+27，
又∵0≤t≤6，
∴當(dāng)t=3時(shí)，S_△DPQ有最小值27．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算，解一元二次方程以及二次函數(shù)最值的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)．解題時(shí)注意：確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．