Question

（14分）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2），過A，C畫直線．

（1）求二次函數的解析式；

（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；

（3）若M為線段OB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N，當點M運動到何處時，四邊形ACNB的面積最大？求出此時點M的坐標及四邊形ACNB面積的最大值．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）把點ABC的坐標代入解析式解方程組即可，也可設解析式為交點式y=a（x+1）（x﹣2），然后把點C（0，﹣2）代入，求出a即可；（2）設P（x，0），表示出AP和PC的長度，可得方程解之即可；（3）設N（x, x2﹣x﹣2），因為S四ACNB=S△ACB+ S△BCN，所以用x表示出S四ACNB，，然后求二次函數的最大值即可.

試題解析：【解析】
（1）設該二次函數的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2），將x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2；

（2）設OP=x，則PC=PA=x+1，在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=；

（3）設N（x, x2﹣x﹣2） S四ACNB=S△ACB+ S△BCN=3+ S△BCN，S△OBC=2 ,S△OCN=x，S△ONB= -x2+x+2,S△BCN= S△OCN+ S△ONB- S△OBC= -x2+x+2+ x-2，S四ACNB=-（x-1）2+4,所以當x=1時，S四ACNB的最大值為4.

即當M（1,0）時，四邊形CBNA面積的最大值是4.

考點：二次函數綜合題.