Question

1．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AC邊上的一點，且ED⊥FD．
（1）求證：ED=FD；
（2）求證：EC²+AE²=2ED²．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形的性質得出CD=AD=BD，∠A=∠B=45°，∠ECD=∠FCD=45°，CD⊥AB，∠EDF=90°，求出∠A=∠FCD，∠CDA=∠EDF=90°，∠ADE=∠CDF，根據ASA推出△ADE≌△CDF即可；
（2）根據全等求出AE=CF，求出△BDF≌△CDE，根據全等三角形的性質得出BF=CE，根據勾股定理求出即可．

解答 證明：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，ED⊥FD，
∴CD=AD=BD，∠A=∠B=45°，∠ECD=∠FCD=45°，CD⊥AB，∠EDF=90°，
∴∠A=∠FCD，∠CDA=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF=90°-∠EDC，
在△ADE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FCD}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴ED=FD；

（2）∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，ED⊥FD，
∴CD=AD=BD，∠A=∠B=45°，∠ECD=∠FCD=45°，CD⊥AB，∠EDF=90°，
∴∠B=∠ECD，∠CDB=∠EDF=90°，
∴∠BDF=∠CDE=90°-∠CDF，
在△BDF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECD}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDE（ASA），
∴BF=CE，
∵在Rt△ECF和Rt△EDF中，由勾股定理得：EC²+CF²=EF²，DE²+DF²=EF²，
又∵CF=AE，DE=DF，
∴EC²+AE²=2ED²．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，勾股定理，直角三角形的性質，等腰直角三角形的性質和判定的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．