Question

6．如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，-2），半徑為2．若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AD與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最大值是$\frac{44}{3}$．

Answer 1

分析 當(dāng)射線AD與⊙C相切時(shí)，△ABE面積的最大．設(shè)EF=x，由切割線定理表示出DE，可證明△CDE∽△AOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得x，進(jìn)而求得BE，然后求得△ABE的面積．

解答 解：當(dāng)射線AD與⊙C相切時(shí)，△ABE面積的最大．
如圖，連接AC．
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，-2），半徑為2．
∴AO=4，OC=2，即OC為⊙C的半徑，則AO與⊙C相切．
∵AO、AD是⊙C的兩條切線，
∴AD=AO=4．
連接CD，設(shè)EF=x，
∴DE²=EF•OE，
∵CF=2，
∴DE=$\sqrt{x（4+x）}$．
易證△CDE∽△AOE，則$\frac{CD}{AO}$=$\frac{CE}{AE}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{2+x}{4+\sqrt{x（4+x）}}$，
解得x=$\frac{4}{3}$或x=0（不合題意，舍去），
∴EF=$\frac{4}{3}$，
∴BE=2+4+$\frac{4}{3}$=$\frac{22}{3}$
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$BE•OA=$\frac{1}{2}$×$\frac{22}{3}$×4=$\frac{44}{3}$．
故答案為$\frac{44}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 題是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查了圓的綜合題，解題時(shí)，涉及到了切線的性質(zhì)和三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)射線AD與⊙C相切時(shí)，△ABE面積的最大．