Question

（2004•天津）已知A為⊙O上一點，B為⊙A與OA的交點，⊙A與⊙O的半徑分別為r、R，且r＜R．
（Ⅰ）如圖1，過點B作⊙A的切線與⊙O交于M、N兩點．求證：AM•AN=2Rr；
（Ⅱ）如圖2，若⊙A與⊙O的交點為E、F，C是弧EBF上任意一點，過點C作⊙A的切線與⊙O交于P、Q兩點，試問AP•AQ=2Rr是否成立，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證AM•AN=2Rr，即證AM•AM=AD•AB，可通過證△ABM∽△AMD得出；
（Ⅱ）欲證AP•AQ=2Rr，即證AP•AQ=AD•AC，可通過證△AQC∽△APD得出．
解答：（Ⅰ）證明：延長AO交⊙O于D，連接MD，
∵過點B作⊙A的切線與⊙O交于M、N兩點
∴OA⊥MN，AM=AN
∵AD是⊙O的直徑
∴∠AMD=∠ABM=90°
∵∠MAD=∠MAD
∴△ABM∽△AMD
∴AM：AB=AD：AM
∴AM：AB=AD：AN
∴AM•AN=2Rr；

（Ⅱ）解：延長AO交⊙O于D，連接PD，
∵過點C作⊙A的切線與⊙O交于P、Q兩點，
∴CA⊥PQ
∵AD是⊙O的直徑
∴∠APD=∠ACQ=90°
∵∠Q=∠D
∴△ACQ∽△APD
∴AC：AP=AQ：AD
∴AP•AQ=2Rr．
點評：考查圓與圓的位置關系中乘積的形式，乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．