Question

14．已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）交x軸于A（1，0）和B （-3，0），交y軸于C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）D是拋物線的頂點，P為拋物線上的一點（不與D重合），當S_△PAB=S_△ABD時，求P的坐標；
（3）若F是x軸上一動點，Q是拋物線上一動點，是否存在F、Q，使以B、C、F、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A和B的坐標代入拋物線解析式，得到關于a與b的二元一次方程組，求出方程組的解集得到a與b的值，進而確定出拋物線的解析式；
（2）由S_△PAB=S_△ABD，根據三角形面積公式可得點P到線段AB的距離一定等于頂點D到AB的距離，而D的坐標為（-1，4），所以點P的縱坐標一定為-4．將y=-4代入（1）中所求解析式，得到x²-2x-3=4，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；
（3）根據平行四邊形的判定，可得BF與CQ的關系，根據數軸上到一點距離相等的點有兩個，可得答案．

解答 解：（1）把點A（1，0）和點B（-3，0）代入拋物線解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0①}\\{9a-3b+3=0②}\end{array}\right.$，
①×3+②得：12a+12=0，解得：a=-1，
把a=-1代入①得：-1+b+3=0，解得：b=-2，
∴方程組的解集為$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
則所求拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）由（1）知，拋物線解析式為：y=-x²-2x+3，即y=-（x+1）²+4，
則D（-1，4），
∵S_△PAB=S_△ABD，且點P在拋物線上，
∴點P到線段AB的距離一定等于頂點D到AB的距離，
∴點P的縱坐標一定為-4．
令y=-4，則-x²-2x+3=-4，
解得x₁=-1+2$\sqrt{2}$，x₂=-1-2$\sqrt{2}$．
∴點P的坐標為（-1+2$\sqrt{2}$，-4）或（-1-2$\sqrt{2}$，-4）．

（3）存在，理由如下：
如圖：由拋物線解析式為y=-x²-2x+3得到：C（0，3）

由BFCQ是平行四邊形，得
BF∥CQ，BF=CQ．
C（0，3）得Q的縱坐標時3，即-x²-2x+3=3，
解得x=0或x=-2，即Q（-2，3）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數的解析式，利用了二次函數的性質，平行四邊形的判定：對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．