Question

已知：△ABC的周長是4+2

6

，AB=4，AC=

6

+

2

．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若CD是AB上的中線，DE⊥AB，∠ACB的平分線交DE于E，交AB于F，連接BE．
求證：DC=DE，并求△DBE的面積．

Answer 1

分析：（1）根據△ABC的周長和兩邊的長，可求得AB的長，根據三邊的關系判斷△ABC的形狀；
（2）此題要想求得面積，應該先求DE=BD=CD=

1

2

AB，可過點C作CM⊥AB交AB于M，得CM∥DE，通過角的關系證得．

解答：解：（1）△ABC是直角三角形．
∵△ABC的周長是4+2

6

，AB=4，AC=

6

+

2

，
∴BC=（4+2

6

）-4-（

6

+

2

）=

6

-

2

，
∵(

6

+

2

)2+(

6

-

2

)2=42，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）過點C作CM⊥AB交AB于M，
∵DE⊥AB，
∴CM∥DE，
∴∠DEF=∠MCF，
又∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠BCM=∠A，
∴∠ACD=∠BCM，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠DCF=∠MCF，
∴∠DCF=∠DEF，
∴DC=DE=

1

2

AB=2，
∴△DBE的面積=2×2÷2=2．（證明相等（3分），求面積2分）

點評：本題考查了同學們利用角平分線的性質、勾股定理的逆定理、平行線的性質等知識點解決問題的能力，作輔助線是關鍵．