Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點M（

3

，0）為圓心，以2

3

為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若⊙M的切線交x軸正半軸于點P，交y軸負半軸于點Q，切點為N，且∠OPQ=30°，試判斷直線PQ是否經過拋物線的頂點？說明理由；
（3）點K是⊙M位于y軸右側上的一動點，連結KB交y軸于點H，問是否存在一個常數k．始終滿足BH•BK=k？如果存在，請求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）易求得A（3

3

，0），B（-

3

，0），C（0，-3）．把它們的坐標分別代入拋物線解析式，列出關于a、b、c的三元一次方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
（2）如圖，連接MN，設直線PQ交拋物線對稱軸于點G．
由（1）中的函數解析式轉化為頂點式解析式，直接寫出該拋物線的頂點坐標（

3

，-2），然后通過解直角△MNG求得MG的長度，若MG=2，則說明該切線經過拋物線的頂點，反之，該切線不經過該拋物線的頂點；
（3）存在．如圖，連接AK．構建相似三角形：△BOH∽△BKA，所以根據相似三角形的對應邊成比例來求k的值．

解答：解：（1）如圖，連接MC．
∵M（

3

，0），BM=AM=MC=2

3

，
∴OC=

MC2-OM2

=3，
∴A（3

3

，0），B（-

3

，0），C（0，-3）．則

27a+3 3 b+c=0 3a- 3 b+c=0 c=-3

，
解得，

a= 1 3 b=- 2 3 3 c=-3

，
∴該拋物線的解析式為：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3；

（2）直線PQ經過拋物線的頂點．理由如下：
由（1）知，拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，即y=

1

3

(x-

3

)2-4，則其頂點坐標是（

3

，-4）．
如圖，連接MN，設直線PQ交拋物線對稱軸于點G．
∵PQ是⊙M的切線，∴MN⊥PQ．
∴∠1=∠2=30°．
又∵MN=2

3

∴MG=

MN

cos30°

=4，則G（

3

，-4），即點G是拋物線的頂點坐標，
∴直線PQ經過拋物線的頂點；

（3）存在，理由如下：
如圖，連接AK．
∵AB是直徑，
∴∠AKB=∠BOH=90°，
又∵∠HBO=∠ABK，
∴△BOH∽△BKA，
∴

BH

BA

=

BO

BK

，則BH•BK=BO•BA=

3

×4

3

=12，即k=12．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．