Question

甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數量的紙牌中取牌．規定每人最多兩種取法，甲每次取4張或（4-k）張，乙每次取6張或（6-k）張（k是常數，0＜k＜4）．經統計，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6張牌，最終兩人所取牌的總張數恰好相等，那么紙牌最少有    張．

Answer 1

【答案】分析：設甲a次取（4-k）張，乙b次取（6-k）張，則甲（15-a）次取4張，乙（17-b）次取6張，從而根據兩人所取牌的總張數恰好相等，得出a、b之間的關系，再有取牌總數的表達式，討論即可得出答案．
解答：解：設甲a次取（4-k）張，乙b次取（6-k）張，則甲（15-a）次取4張，乙（17-b）次取6張，
則甲取牌（60-ka）張，乙取牌（102-kb）張
則總共取牌：N=a（4-k）+4（15-a）+b（6-k）+6（17-b）=-k（a+b）+162，
從而要使牌最少，則可使N最小，因為k為正數，函數為減函數，則可使（a+b）盡可能的大，
由題意得，a≤15，b≤16，
又最終兩人所取牌的總張數恰好相等，
故k（b-a）=42，而0＜k＜4，b-a為整數，
則由整除的知識，可得k可為1，2，3，
①當k=1時，b-a=42，因為a≤15，b≤16，所以這種情況舍去；
②當k=2時，b-a=21，因為a≤15，b≤16，所以這種情況舍去；
③當k=3時，b-a=14，此時可以符合題意，
綜上可得：要保證a≤15，b≤16，b-a=14，（a+b）值最大，
則可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；
當b=16，a=2時，a+b最大，a+b=18，
繼而可確定k=3，（a+b）=18，
所以N=-3×18+162=108張．
故答案為：108．
點評：此題屬于應用類問題，設計了數的整除、一次函數的增減性及最值的求法，綜合性較強，解答本題要求我們熟練每部分知識在實際問題的應用，一定要多思考．