Question

甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數量的紙牌中取牌．規定每人最多兩種取法，甲每次取4張或（4﹣k）張，乙每次取6張或（6﹣k）張（k是常數，0＜k＜4）．經統計，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6張牌，最終兩人所取牌的總張數恰好相等，那么紙牌最少有          張．

Answer 1

考點：應用類問題。

解答：解：設甲a次取（4﹣k）張，乙b次取（6﹣k）張，則甲（15﹣a）次取4張，乙（17﹣b）次取6張，

則甲取牌（60﹣ka）張，乙取牌（102﹣kb）張

則總共取牌：N=a（4﹣k）+4（15﹣a）+b（6﹣k）+6（17﹣b）=﹣k（a+b）+162，

從而要使牌最少，則可使N最小，因為k為正數，函數為減函數，則可使（a+b）盡可能的大，

由題意得，a≤15，b≤16，

又最終兩人所取牌的總張數恰好相等，

故k（b﹣a）=42，而0＜k＜4，b﹣a為整數，

則由整除的知識，可得k可為1，2，3，

①當k=1時，b﹣a=42，因為a≤15，b≤16，所以這種情況舍去；

②當k=2時，b﹣a=21，因為a≤15，b≤16，所以這種情況舍去；

③當k=3時，b﹣a=14，此時可以符合題意，

綜上可得：要保證a≤15，b≤16，b﹣a=14，（a+b）值最大，

則可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；

當b=16，a=2時，a+b最大，a+b=18，

繼而可確定k=3，（a+b）=18，

所以N=﹣3×18+162=108張．

故答案為：108．