Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，將△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1 ， 旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），連接AC1、BD1 ， AC1與BD1交于點P．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形．
①求證：△AOC1≌△BOD1 ．
②請直接寫出AC1 與BD1的位置關系．

（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，設AC1=kBD1 ． 判斷AC1與BD1的位置關系，說明理由，并求出k的值．

（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，AC=5，BD=10，連接DD1 ， 設AC1=kBD1 ． 請直接寫出k的值和AC12+（kDD1）2的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，

∴∠AOB=∠COD=90°，

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，

∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，

∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1，

在△AOC1和△BOD1中

，

∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；

②AC1⊥BD1；

（2）

解：AC1⊥BD1．

理由如下：如圖2，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴OC=OA= AC，OD=OB= BD，AC⊥BD，

∴∠AOB=∠COD=90°，

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，

∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，

∴OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1，

∴ ，

∴△AOC1∽△BOD1，

∴∠OAC1=∠OBD1，

又∵∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，

∴∠APB=90°

∴AC1⊥BD1；

∵△AOC1∽△BOD1，

∴ = = = = ，

∴k= ；

（3）

解：如圖3，與（2）一樣可證明△AOC1∽△BOD1，

∴ = = = ，

∴k= ；

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，

∴OD1=OD，

而OD=OB，

∴OD1=OB=OD，

∴△BDD1為直角三角形，

在Rt△BDD1中，

BD12+DD12=BD2=100，

∴（2AC1）2+DD12=100，

∴AC12+（kDD1）2=25．

【解析】（1）①如圖1，根據正方形的性質得OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，則∠AOB=∠COD=90°，再根據旋轉的性質得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1 ， 則OC1=OD1 ， 利用等角的補角相等得∠AOC1=∠BOD1 ， 然后根據“SAS”可證明△AOC1≌△BOD1；②由∠AOB=90°，則∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，則∠APB=90°所以AC1⊥BD1；（2）圖2，根據菱形的性質得OC=OA= AC，OD=OB= BD，AC⊥BD，則∠AOB=∠COD=90°，再根據旋轉的性質得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1 ， 則OC1=OA，OD1=OB，利用等角的補角相等得∠AOC1=∠BOD1 ， 加上 ，根據相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1 ， 得到∠OAC1=∠OBD1 ， 由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，則∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，則∠APB=90°，所以AC1⊥BD1；然后根據相似比得到 = = = ，所以k= ；（3）與（2）一樣可證明△AOC1∽△BOD1 ， 則 = = = ，所以k= ；根據旋轉的性質得OD1=OD，根據平行四邊形的性質得OD=OB，則OD1=OB=OD，于是可判斷△BDD1為直角三角形，根據勾股定理得BD12+DD12=BD2=100，所以（2AC1）2+DD12=100，于是有AC12+（kDD1）2=25．