Question

【題目】兩條拋物線與的兩個交點、都在軸上，拋物線的頂點為.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在軸正半軸上有一點，當時，求的面積；

(3)判斷在軸上是否存在點，使點繞點順時針旋轉，得到點恰好落在拋物線上?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；（3）存在；點P坐標為：或.

【解析】

（1）利用拋物線，求出點A、B的坐標，然后用待定系數法求出的解析式即可；

（2）根據題意，可分兩種情況進行討論，①在拋物線的對稱軸上取一點，以為圓心，為半徑作圓，與y軸正半軸有交點，根據勾股定理求出點坐標，然后求出面積；②在軸下方拋物線的對稱軸上，取一點，以點為圓心，以為半徑作圓，與y的正半軸有交點，通過計算，不符合題意，最后即可得到的面積；

（3）過點作軸于點，過點作軸于點，分兩種情況進行討論：①當點在點上方時，設，先證明，然后利用方程的思想求出

的值，然后得到點P的坐標；②當點在點下方時，設，與①同理可證，然后利用方程的思想求出z的值，得到點P的坐標.

解：（1）∵點，都在軸上，

∴，

解得：，，

∴，，

把點，代入得，

解得：，

∴.

（2）如圖，拋物線的對稱軸與軸交點為

，

∴.

①如圖，在軸上方拋物線的對稱軸上，取一點，使

，，

，

以點為圓心，以為半徑作圓，

與軸正半軸相交于點，即：，

.

設點()，過點作軸于點，

，

，（舍去），

.

②如圖，在軸下方拋物線的對稱軸上，取一點，使

，，

，

以點為圓心，以為半徑作圓，

與軸正半軸相交于點，即：，舍去.

的面積為：.

（3），頂點，

如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，

①當點在點上方時，設，依題意得：

，，

，

，

恰好落在拋物線上，

∴(舍去）

.

②當點在點下方時，設，

同理可證：，

，

，

恰好落在拋物線上，

，(舍去）

.

綜上所述，，.