Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC和CB延長線上的點，且，連接AD、AE，BM、CN分別是△ABE和△ACD的高線，垂足分別為M、N， BG、CH分別是∠ABE和∠ACD的平分線，分別交AE、AD于點G、H.

證明:(1)△ABE∽△DCA;

(2)sin∠MBG=sin∠NCH.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）由兩組對邊成比例且夾角相等易證△ABE∽△DCA；

（2）由△ABE∽△DCA可得∠E=∠CAD，由互余關系可得∠EBM=∠ACN，再根據角平分線得到∠EBG=∠ACH，角度作差可得∠MBG=∠NCH，即可得證.

證明：（1）∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=∠ACB=60°

∴∠ABE=∠DCA=120°

又∵

∴△ABE∽△DCA

（2）∵BM、CN分別是△ABE和△ACD的高線，

即BM⊥AE，CN⊥AD

∴∠EBM+∠E=90°，∠ACN+∠CAD=90°，

∵△ABE∽△DCA

∴∠E=∠CAD

∴∠EBM=∠ACN

又∵BG平分∠ABE，CH平分∠ACD，且∠ABE=∠ACD=120°

∴∠EBG=∠ACH=60°

∴∠EBG-∠EBM=∠ACH-∠ACN，即∠MBG=∠NCH

∴sin∠MBG=sin∠NCH