Question

【題目】綜合與實踐：

問題情境：在矩形ABCD中，點E為BC邊的中點，將△ABE沿直線AE翻折，使點B與點F重合，直線AF交直線CD于點G.

特例探究　實驗小組的同學發現：

（1）如圖1，當AB＝BC時，AG＝BC＋CG，請你證明該小組發現的結論；

（2）當AB＝BC＝4時，求CG的長；

延伸拓展：（3）實知小組的同學在實驗小組的啟發下，進一步探究了當AB∶BC＝∶2時，線段AG，BC，CG之間的數量關系，請你直接寫出實知小組的結論：___________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1；（3）AG＝BC＋CG

【解析】

（1）如圖1中，連接EG．只要證明△EGF≌△EGC即可解決問題；

（2）只要證明△ABE∽△ECG，即可推出，由此即可解決問題；

（3）如圖2中，連接EG．由△AEB≌△AEF，△EGF≌△EGC，推出AB=AF，BE=EF=EC，FG=GC，由AB∶BC=BC=∶2，推出AB=BC，可得AG=AF+FG=AB+CG=BC+CG．

解：(1)證明：連接EG.

∵△AEF是由△AEB翻折得到，點E為BC邊的中點，

∴EB＝EF＝EC，AB＝AF，∠AFE＝∠B＝∠C＝90°.

在Rt△EGF和Rt△EGC中，，

∴Rt△EGF≌Rt△EGC(HL)．

∴FG＝GC.

∵AB＝AF＝BC，

∴AG＝AF＋FG＝BC＋CG.

(2)∵△EGF≌△EGC，

∴∠GEF＝∠GEC.

∵∠AEB＝∠AEF，∠BEC＝180°，

∴∠AEG＝90°.

∴∠AEB＋∠GEC＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°.

∴∠GEC＝∠BAE.

∵∠B＝∠C，

∴△ABE∽△ECG.

∴

∵EC＝2，

∴CG＝1；

（3）如圖2中，連接EG．

∵△AEB≌△AEF，△EGF≌△EGC，

∴AB=AF，BE=EF=EC，FG=GC，

∵AB：BC=BC=∶2，

∴AB=BC，

∴AG=AF+FG=AB+CG=BC+CG．

即AG=BC+CG．