Question

如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M．

（1）求證：∠FMC=∠FCM；

（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，

∴DF⊥AE，DF=AF=EF，又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，

∴∠DCF=∠AMF，

在△DFC和△AFM中，，∴△DFC≌△AFM（AAS），

∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM；

（2）AD⊥MC，

理由：由（1）知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=EF，F(xiàn)M=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°，

∴DE∥CM，∴AD⊥MC．