Question

（8分）如圖，已知點E在△ABC的邊AB上，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，且D在以AE為直徑的⊙O上。

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）已知∠B=30°，CD=4，求線段AB的長。

Answer 1

（1）證明：連結OD，如圖，

∵∠BAC的平分線交BC于點D，

∴∠BAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）【解析】
∵∠B=30°，

∴∠BAC=60°，

∴∠CAD=30°，

在Rt△ADC中，DC=4，

∴AC=DC=，

在Rt△ABC中，∠B=30°，

∴AB=2AC=．

【解析】

試題分析：（1）連結OD，根據角平分線的定義得到∠BAD=∠CAD，而∠OAD=∠ODA，則∠ODA=∠CAD，于是判斷OD∥AC，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）由∠B=30°得到∠BAC=60°，則∠CAD=30°，在Rt△ADC中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到AC=，然后在Rt△ABC中，根據含30度的直角三角形三邊的關系可得到AB=

考點：切線的判定；勾股定理