Question

如圖，已知直線分別交軸、軸于A、B兩點，拋物線經過A、B兩點，點C是拋物線與軸的另一個交點（與A點不重合）

（1）求拋物線的解析式;

（2）求△ABC的面積；

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標。

Answer 1

(1) y=x2+2x-3．(2)6.（3）共存在4個點M1（-1，），M2（-1，-），M3（-1，0），M4（-1，-1）使△ABM為等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）根據直線解析式求出點A及點B的坐標，然后將點A及點B的坐標代入拋物線解析式，可得出b、c的值，求出拋物線解析式；

（2）由（1）求得的拋物線解析式，可求出點C的坐標，繼而求出AC的長度，代入三角形的面積公式即可計算；

（3）根據點M在拋物線對稱軸上，可設點M的坐標為（-1，m），分三種情況討論，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．

試題解析：（1）∵直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，

∴可得A（1，0），B（0，-3），

把A、B兩點的坐標分別代入y=x2+bx+c得：

，

解得：b=2, c=-3．

∴拋物線解析式為：y=x2+2x-3．

（2）令y=0得：0=x2+2x-3，

解得：x1=1，x2=-3，

則C點坐標為：（-3，0），AC=4，

故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．

（3）存在，理由如下：

拋物線的對稱軸為：x=-1，假設存在M（-1，m）滿足題意：

討論：

①當MA=AB時，

∵OA=1，OB=3，

∴AB=，

，

解得：m=±，

∴M1（-1，），M2（-1，-）；

②當MB=BA時，，

解得：M3=0，M4=-6，

∴M3（-1，0），M4（-1，-6）（不合題意舍去），

③當MB=MA時，，

解得：m=-1，

∴M5（-1，-1），

答：共存在4個點M1（-1，），M2（-1，-），M3（-1，0），M4（-1，-1）使△ABM為等腰三角形．

考點：二次函數綜合題．