Question

3． 如圖，△ABC中，∠B=60°，AD⊥BC，CE⊥AB，說明：
（1）△BDA∽△BEC；
（2）△BDE∽△BAC；
（3）若取AC邊的中點F，則△DEF為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）由∠BDA=∠BEC=90°，∠B=∠B，即可得出結論；
（2）由（1）得出△BDA∽△BEC，得出對應邊成比例$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，再由∠B=∠B，即可得出結論；
（3）證出BD=$\frac{1}{2}$AB，由相似三角形的性質得出DE=$\frac{1}{2}$AC，由直角三角形斜邊上的中線性質得出EF=$\frac{1}{2}$AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，證出DE=EF=DF即可．

解答 證明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BDA=∠ADC=∠AEC=∠BEC=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△BDA∽△BEC；
（2）由（1）得：△BDA∽△BEC，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（3）∵∠B=60°，AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
由（2）得：△BDE∽△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，
又∵F是AC的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=EF=DF，
∴△DEF為等邊三角形．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質、等邊三角形的判定等知識；證明三角形相似是解決問題的關鍵．