Question

（2012•泰安）如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點M，F，BG⊥AC，垂足為G，BG交AE于點H．
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）找出與△ABH相似的三角形，并證明；
（3）若E是BC中點，BC=2AB，AB=2，求EM的長．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似，即可證得：△ABE∽△ECF；
（2）由BG⊥AC，易證得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可證得△ABH∽△ECM；
（3）首先作MR⊥BC，垂足為R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的長，又由EM=

MR

sin45°

，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；

（2）△ABH∽△ECM．
證明：∵BG⊥AC，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠ABH=∠ECM，
由（1）知，∠BAH=∠CEM，
∴△ABH∽△ECM；

（3）解：作MR⊥BC，垂足為R，
∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=

1

2

，∠AEB=45°，
∴∠MER=45°，CR=2MR，
∴MR=ER=

1

3

EC=

1

3

×2=

2

3

，
∴EM=

MR

sin45°

=

2 2

3

．

點評：此題考查了矩形的性質，直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意數形結合思想的應用，注意掌握有兩組角對應相等的兩個三角形相似定理的應用．