Question

（2012•泰安）如圖，半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，點C的坐標為（1，0）．若拋物線y=-

3

3

x²+bx+c過A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出點P的坐標；若不存在說明理由；
（3）若點M是拋物線（在第一象限內的部分）上一點，△MAB的面積為S，求S的最大（小）值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求拋物線的解析式．因為已知A（3，0），所以需要求得B點坐標．如答圖1，連接OB，利用勾股定理求解；
（2）由∠PBO=∠POB，可知符合條件的點在線段OB的垂直平分線上．如答圖2，OB的垂直平分線與拋物線有兩個交點，因此所求的P點有兩個，注意不要漏解；
（3）如答圖3，作MH⊥x軸于點H，構造梯形MBOH與三角形MHA，求得△MAB面積的表達式，這個表達式是關于M點橫坐標的二次函數，利用二次函數的極值求得△MAB面積的最大值．

解答：解：（1）如答圖1，連接CB．
∵BC=2，OC=1
∴OB=

4-1

=

3

∴B（0，

3

）
將A（3，0），B（0，

3

）代入二次函數的表達式
得

- 3 3 ×9+3b+c=0 c= 3

，解得

b= 2 3 3 c= 3

，
∴y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

．

（2）存在．
如答圖2，作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點P₁，P₂．
∵B（0，

3

），O（0，0），
∴直線l的表達式為y=

3

2

．代入拋物線的表達式，
得-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

=

3

2

；
解得x₁=1+

1

2

10

或x₂=1-

1

2

10

，
∴P₁（1-

10

2

，

3

2

）或P₂（1+

10

2

，

3

2

）．

（3）如答圖3，作MH⊥x軸于點H．
設M（x_m，y_m），
則S_△MAB=S_梯形MBOH+S_△MHA-S_△OAB
=

1

2

（MH+OB）•OH+

1

2

HA•MH-

1

2

OA•OB
=

1

2

（y_m+

3

）x_m+

1

2

（3-x_m）y_m-

1

2

×3×

3

=

3

2

x_m+

3

2

y_m-

3

2

3

∵y_m=-

3

3

x_m²+

2 3

3

x_m+

3

，
∴S_△MAB=

3

2

x_m+

3

2

（-

3

3

x_m²+

2 3

3

x_m+

3

）-

3

2

3

=-

3

2

x_m²+

3

2

3

x_m
=-

3

2

（x_m-

3

2

）²+

9

8

3

∴當x_m=

3

2

時，S_△MAB取得最大值，最大值為

9

8

3

．

點評：本題是二次函數綜合題，重點考查二次函數相關性質、圓的性質、垂直平分線/勾股定理、面積求法等知識點．第（2）問中注意垂直平分線與拋物線的交點有兩個，不要漏解；第（3）問中，重點關注圖形面積的求法以及求極值的方法．本題考查知識點較多，要求同學們對所學知識要做到理解深刻、融會貫通、靈活運用，如此方能立于不敗之地．