Question

已知：二次函數（m為常數）．

（1）若這個二次函數的圖象與x軸只有一個公共點A，且A點在x軸的正半軸上．

①求m的值；

②四邊形AOBC是正方形，且點B在y軸的負半軸上，現將這個二次函數的圖象平移，使平移后的函數圖象恰好經過B，C兩點，求平移后的圖象對應的函數解析式；

（2）當0≤≤2時，求函數的最小值（用含m的代數式表示）．

 

 

Answer 1

（1）m=4; y=x2-2x-2．（2）當m＜0時，函數y=x2-mx+m+1的最小值為m+1；當0≤m≤4時，函數y=x2-mx+m+1的最小值為-+m+1；當m＞4時，函數y=x2-mx+m+1的最小值為-m+5．

【解析】

試題分析：（1）①根據二次函數x2-mx+m+1的圖象與x軸只有一個公共點A，可得判別式為0，依此可得關于m的方程，求解即可；

②由①得點A的坐標為（2，0）．根據正方形的性質可得點B的坐標為（0，-2），點C的坐標為（2，-2）．根據待定系數法可求平移后的圖象對應的函數解析式；

（2）分三種情況：（ⅰ）當＜0，即m＜0時；（ⅱ）當0≤≤2，即0≤m≤4時；（ⅲ）當＞2，即m＞4時；討論可求函數y=x2-mx+m+1的最小值．

試題解析：（1）①∵二次函數y=x2-mx+m+1的圖象與x軸只有一個公共點A，

∴△=m2-4×1×（m+1）=0．

整理，得m2-3m-4=0，

解得m1=4，m2=-1，

又∵點A在x軸的正半軸上，

∴m=4.

②由①得點A的坐標為（2，0）．

∵四邊形AOBC是正方形，點B在y軸的負半軸上，

∴點B的坐標為（0，-2），點C的坐標為（2，-2）．

設平移后的圖象對應的函數解析式為y=x2+bx+c（b，c為常數）．

∴，

解得

∴平移后的圖象對應的函數解析式為y=x2-2x-2．

（2）函數y=x2-mx+m+1的圖象是頂點為（，-+m+1），且開口向上的拋物線．分三種情況：

（�。┊�＜0，即m＜0時，函數在0≤x≤2內y隨x的增大而增大，此時函數的最小值為m+1；

（ⅱ）當0≤≤2，即0≤m≤4時，函數的最小值為-+m+1；

（ⅲ）當＞2，即m＞4時，函數在0≤x≤2內y隨x的增大而減小，此時函數的最小值為-m+5．

綜上所述，當m＜0時，函數y=x2-mx+m+1的最小值為m+1；當0≤m≤4時，函數y=x2-mx+m+1的最小值為-+m+1；當m＞4時，函數y=x2-mx+m+1的最小值為-m+5．

考點：二次函數綜合題.