Question

如圖，等腰Rt△ABD中，AB=AD，點M 為邊AD上一動點，點E在DA的延長線上，且AM=AE，以BE為直角邊，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，連NE、DN．
（1）求證：∠BEN=∠BGN．
（2）求的值．
（3）當M在AD上運動時，探究四邊形BDNG的形狀，并證明之．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BM，推出BE=BM，∠EBA=∠MBA，根據SAS證△BMN≌△BEN，推出∠BMN=∠BEN，證出∠BMN=∠BGN即可；
（2）過G作GH⊥AB，垂足為H，證△BGH≌△ABE，推出BH=AE=AN，求出NG=GH=AB，代入求出即可；
（3）根據ADN≌△BAE，推出BG⊥BE，BG=BE，得出BG∥DN，BG=DN，根據平行四邊形的判定判斷即可．
解答：（1）證明：連BM，
∵∠BAD=90°，
∴BA⊥EM，
∵AE=AM，
∴BE=BM，∠EBA=∠MBA，
在△BEN和△BMN中
，
∴△BMN≌△BEN，
∴∠BMN=∠BEN，
∵BE=BG=BM，
∴∠BMN=∠BGN，
∴∠BEN=∠BGN．

（2）解：由（1）得，∠GBE=∠GNE=90°，
∴△NME等腰直角三角形，
∴AE=AN，
過G作GH⊥AB，垂足為H，
∴∠H=∠BAE=∠GBE=90°，
∴∠HGB+∠HBG=90°，∠HBG+∠ABE=90°，
∴∠HGB=∠EBA，
在△BGH和△ABE中
，
∴△BGH≌△ABE，
∴BH=AE=AN，
HN=AB=GH，NG=GH=AB，
∴．

（3）解：四邊形BDNG是平行四邊形，
理由是：∵∠DAN=∠BAE=90°，AN=AE，AB=AD，
∴△ADN≌△BAE，
∴DN⊥BE，DN=BE=BG，
又∵BG⊥BE，BG=BE，
∴BG∥DN，BG=DN
∴四邊形BDNG為平行四邊形．
點評：本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形性質等知識點的運用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題型較好，但有一定的難度．