Question

如圖，等腰Rt△ABC中，CA=CB=8

2

，點P是AB上一動點，設AP=x，操作：在射線AB上截取PQ=AP，以PQ為一邊向上作正方形PQMN，設正方形PQMN與Rt△ABC重疊部分的面積為S．
（1）求S與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）S是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）此題要分情況討論：當0＜x≤

16

3

時，重疊部分的面積即為正方形的面積；當

16

3

＜x＜8時，則重疊部分的面積即為正方形的面積減去等腰直角三角形的面積；當8≤x＜16時，重疊部分的面積即為等腰直角三角形的面積；
（2）分別求得每一種情況的面積最大值，再進一步比較，取其中的面積最大值即可．

解答：解：（1）如圖，當0＜x≤

16

3

時，則S=x²；
當

16

3

＜x＜8時，則S=x²-

1

2

（x-16+2x）²=-

7

2

x2+48x-128；
當8≤x＜16時，則S=

1

2

(16-x)2=

1

2

x2-16x+128．

（2）當0＜x≤

16

3

時，則S=x²，則當x=

16

3

時，最大值S=

256

9

；
當

16

3

＜x＜8時，則S=x²-

1

2

（x-16+2x）²=-

7

2

x2+48x-128，則當x=

48

7

時，最大值S=

256

7

；
當8≤x＜16時，則S=

1

2

(16-x)2=

1

2

x2-16x+128，當x=8時，最大值S=32．
綜上所述，當x=

48

7

時，最大值S=

256

7

．

點評：此題關鍵是能夠正確分析出重疊的不同情況，能夠根據建立的二次函數關系式，分析得到其最大值．