Question

已知a是實數，函數y=（a²-1）x+a（-1≤x≤1），若|a|≤1，求證：|y|≤

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．

Answer 1

分析：分類討論：當a=±1，則y=±1，得到：|y|≤

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；當-1＜a＜1，y隨x的增大而減小，而-1≤x≤1，當x=-1，y有最大值，當x=1，y有最小值，分別得到關于a的二次函數，利用二次函數的最值問題可求出最大值為

5

4

，最小值為-

5

4

，都滿足：|y|≤

5

4

．

解答：證明：當a=±1，y=±1，則|y|＜

5

4

；
當-1＜a＜1，
∴a²-1＜0，
∴y=（a²-1）x+a，y隨x的增大而減小，而-1≤x≤1，
∴當x=-1，y有最大值，此時y=-a²+a+1=-（a-

1

2

）²+

5

4

，
即a=

1

2

時，y的最大值為

5

4

，滿足|y|≤

5

4

．
當x=1，y有最小值，此時y=a²+a-1=（a+

1

2

）²-

5

4

，
即a=-

1

2

時，y的最小值為

5

4

，滿足|y|≤

5

4

．
所以若|a|≤1，有|y|≤

5

4

．

點評：本題考查了一次函數的增減性：y=kx+b（k≠0），當k＞0，y隨x的增大而增大，k＜0，y隨x的增大而減小；也考查了分類討論思想的應用以及二次函數最值的求法．