Question

已知a是實數，函數y=2ax²+2x-3-a．若存在x₀（-1≤x₀≤1）滿足2ax₀²+2x₀-3-a=0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：此題需要分兩種情況進行討論：
①若此函數是一次函數，則a=0，解析式為：y=2x-3，顯然在區間[-1，1]之間沒有符合條件的x₀，故此種情況不成立；
②若此函數是二次函數，即a≠0；又要分兩種情況進行討論：
一、若在區間[-1，1]中，只有一個符合條件的零點，那么
1、當x=1、x=-1時，函數值的乘積應該是0或負數，即f（1）•f（-1）≤0，由此可求出a的取值范圍；
2、該二次函數與x軸只有一個交點，令△=0，即可求出a的值；
二、若在區間[-1，1]中，有兩個零點，那么要分兩種情況進行討論：
1、a＞0，此時函數的開口方向向上，有：f（1）•f（-1）≥0，且根的判別式△＞0，據此可求出a的取值范圍；
2、a＜0，此時函數的開口方向向下，有：f（1）•f（-1）≥0，且根的判別式△＞0，據此可求出a的另一個取值范圍；
兩式上面所提到的各種情況，即可求得a的取值范圍．

解答：解：y=f（x）=2ax²+2x-3-a，若a=0，f（x）=2x-3，顯然在區間[-1，1]上沒有符合條件的x₀，
所以a≠0
令△=4+8a（3+a）=8a²+24a+4=0，
得a=

-3± 7

2

；
當a=

-3- 7

2

時，y=f（x）恰有一個x₀（-1≤x₀≤1）；
當f（-1）•f（1）=（a-1）（a-5）≤0，
即1≤a≤5時，y=f（x），也恰有一個x₀（-1≤x₀≤1）；
當y=f（x）在[-1，1]上有兩個x₀時，則

a＞0 △=8a2+24a+4＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(1)≥0 f(-1)≥0

，或

a＜0 △=8a2+24a+4＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(1)≤0 f(-1)≤0

；
解得a≥5或a＜

-3- 7

2

；
因此a的取值范圍是a≥1或a≤

-3- 7

2

．

點評：此題主要考查了從函數值域的角度來分析方程有解的參數范圍問題，難點在于將各種可能的情況都考慮到．