Question

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)y=（a²-1）x+a（-1≤x≤1），若|a|≤1，求證：|y|≤．

Answer 1

證明：當(dāng)a=±1，y=±1，則|y|＜；
當(dāng)-1＜a＜1，
∴a²-1＜0，
∴y=（a²-1）x+a，y隨x的增大而減小，而-1≤x≤1，
∴當(dāng)x=-1，y有最大值，此時(shí)y=-a²+a+1=-（a-）²+，
即a=時(shí)，y的最大值為，滿足|y|≤．
當(dāng)x=1，y有最小值，此時(shí)y=a²+a-1=（a+）²-，
即a=-時(shí)，y的最小值為，滿足|y|≤．
所以若|a|≤1，有|y|≤．
分析：分類討論：當(dāng)a=±1，則y=±1，得到：|y|≤；當(dāng)-1＜a＜1，y隨x的增大而減小，而-1≤x≤1，當(dāng)x=-1，y有最大值，當(dāng)x=1，y有最小值，分別得到關(guān)于a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題可求出最大值為，最小值為-，都滿足：|y|≤．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的增減性：y=kx+b（k≠0），當(dāng)k＞0，y隨x的增大而增大，k＜0，y隨x的增大而減小；也考查了分類討論思想的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值的求法．