Question

已知a是實數，函數y=（a²-1）x+a（-1≤x≤1），若|a|≤1，求證：|y|≤．

Answer 1

【答案】分析：分類討論：當a=±1，則y=±1，得到：|y|≤；當-1＜a＜1，y隨x的增大而減小，而-1≤x≤1，當x=-1，y有最大值，當x=1，y有最小值，分別得到關于a的二次函數，利用二次函數的最值問題可求出最大值為，最小值為-，都滿足：|y|≤．
解答：證明：當a=±1，y=±1，則|y|＜；
當-1＜a＜1，
∴a²-1＜0，
∴y=（a²-1）x+a，y隨x的增大而減小，而-1≤x≤1，
∴當x=-1，y有最大值，此時y=-a²+a+1=-（a-）²+，
即a=時，y的最大值為，滿足|y|≤．
當x=1，y有最小值，此時y=a²+a-1=（a+）²-，
即a=-時，y的最小值為，滿足|y|≤．
所以若|a|≤1，有|y|≤．
點評：本題考查了一次函數的增減性：y=kx+b（k≠0），當k＞0，y隨x的增大而增大，k＜0，y隨x的增大而減小；也考查了分類討論思想的應用以及二次函數最值的求法．