Question

平面直角坐標系中，已知點O（0，0）、A（0，2）、B（1，0），點P是反比例函數y=-

1

x

圖象上的一個動點，過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q．若以點O、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似，則點P的坐標是

（

2

，-

2

2

）或（-

2

，

2

2

）或（

2

2

，-

2

）或（-

2

2

，

2

）

．

Answer 1

分析：由A（0，2）、B（1，0），可求得OA與OB的長，然后分別從當

PQ

BO

=

OQ

OA

，即OQ=2PQ時，△OPQ∽△ABO與當

PQ

AO

=

OQ

OB

，即PQ=2OQ時，△OPQ∽△BAO去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵A（0，2）、B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵PQ⊥x軸，
∴∠PQO=∠AOB=90°，
當

PQ

BO

=

OQ

OA

，即OQ=2PQ時，△OPQ∽△ABO，
設點P（x，-

1

2

x），
∴-

1

2

x=-

1

x

，
解得：x=±

2

，
∴點P的坐標是：（

2

，-

2

2

）或（-

2

，

2

2

）；
當

PQ

AO

=

OQ

OB

，即PQ=2OQ時，△OPQ∽△BAO，
設點P（x，-2x），
∴-2x=-

1

x

，
解得：x=±

2

2

，
∴點P的坐標是：（

2

2

，-

2

）或（-

2

2

，

2

）．
綜上可得：點P的坐標是：（

2

，-

2

2

）或（-

2

，

2

2

）或（

2

2

，-

2

）或（-

2

2

，

2

）．
故答案為：（

2

，-

2

2

）或（-

2

，

2

2

）或（

2

2

，-

2

）或（-

2

2

，

2

）．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及反比例函數上點的性質．此題難度適中，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．