Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知A（0，2），B（1，0）將△AOB繞點B順時針方向旋轉90°得到△DEB．以A為頂點的拋物線經過點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在Y軸右側拋物線上是否存在點P，使得以點P、O、E、D為頂點的四邊形是梯形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設△DEB的外心為M，將拋物線沿X軸正方向以每秒1個單位的速度向右平移，直接寫出M在拋物線內部（指拋物線與X軸所圍成的部分）時t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知得出E點坐標，進而利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（2）根據梯形的判定求出當DE∥PB時，即P點在X軸上，即y=0，求出P點坐標即可；
（3）根據直角三角形外心的性質得出，M點是BD中點，進而得出M點坐標，當圖象向右平移t秒時，即二次函數對稱軸為x=t，圖象過M點，求出t的值即可，進而得出t的取值范圍．

解答：解：（1）∵A（0，2），B（1，0）將△AOB繞點B順時針方向旋轉90°得到△DEB，
∴E點坐標為：（1，1），
∴A為頂點的拋物線經過點E的拋物線解析式為：y=ax²+c，
∴

c=2 1=a+c

，
∴

a=-1 c=2

．
∴y=-x²+2；

（2）當DE∥PB時，即P點在X軸上，
∴0=-x²+2，
解得：x=±

2

，
∴PO=

2

，
∵AO=2，
∴DE=2，
∴PO≠DE，
∴四邊形EPOD是梯形，
∴在Y軸右側拋物線上存在點P，使得以點P、O、E、D為頂點的四邊形是梯形，
∴點P的坐標為：（-

2

，0）；

（3）如圖所示：當△DEB的外心為M，將拋物線沿X軸正方向以每秒1個單位的速度向右平移，
∴M在拋物線內部（指拋物線與X軸所圍成的部分）時t的取值范圍是：2-

6

2

＜t＜2+

6

2

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及梯形的判定方法和三角形外心的性質等知識，將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．