Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側作等邊三角形APQ．當點P運動到原點O處時，記Q的位置為B．
（1）求點B的坐標；
（2）求證：當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，∠ABQ為定值；
（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意作輔助線過點B作BC⊥y軸于點C，根據等邊三角形的性質即可求出點B的坐標，
（2）根據∠PAQ=∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB總成立，得出當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值90°，
（3）根據點P在x的正半軸還是負半軸兩種情況討論，再根據全等三角形的性質即可得出結果．

解答：（1）解：過點B作BC⊥y軸于點C，
∵A（0，2），△AOB為等邊三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=

3

，OC=AC=1，
即B（

3

，1）；

（2）證明：當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，不失一般性，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，

AP=AQ ∠PAO=∠QAB AO=AB

∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°總成立，
∴當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，∠ABQ為定值90°；

（3）解：由（2）可知，點Q總在過點B且與AB垂直的直線上，可見AO與BQ不平行．
①當點P在x軸負半軸上時，點Q在點B的下方，
此時，若AB∥OQ，四邊形AOQB即是梯形，
當AB∥OQ時，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，可求得BQ=

3

，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=

3

，
∴此時P的坐標為（-

3

，0）．
②當點P在x軸正半軸上時，點Q在B的上方，
此時，若AQ∥OB，四邊形AOBQ即是梯形，
當AQ∥OB時，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．
又AB=2，可求得BQ=2

3

，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2

3

，
∴此時P的坐標為（2

3

，0）．
綜上，P的坐標為（-

3

，0）或（2

3

，0）．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質以及全等三角形的判定及性質，難度適中．