Question

19．如圖①，AB為⊙O的直徑，點M是過點A的切線上的一點，連接BM交⊙O于點C，點D、E分別是弧BC和弧AC的中點，連接AD交BM于點F，連接AE并延長交BM于點G．
（1）∠BAM=90°．
（2）求∠FAG的度數．
（3）求證：AB=BG．
（4）如圖②，分別過點F、G作FH⊥AB、GK⊥AM于H、K，GK=1.6，FH=2.4，求FG．

Answer 1

分析 （1）根據切線的性質即可解決問題．
（2）只要證明∠DAB=∠DAC，∠GAC=∠GAM即可解決問題．
（3）欲證明BA=BG，只要證明∠BAG=∠BGA即可．
（4）只要證明CF=FH，CG=GK即可解決問題．

解答 （1）解：如圖①中，
∵AM是⊙O切線，AB是直徑，
∴OA⊥AM，
∴∠BAM=90°，
故答案為90，

（2）解：如圖①中，連接AC、BE．
∵AB是直徑，
∴∠AEB=∠MAB=90°
∴∠MAG+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠MAG=∠ABE，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{EC}$，$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABE=∠EAC=∠MAE，∠BAD=∠DAC，
∴∠DAG=∠CAD+∠CAG=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAM）=45°．

（3）證明：如圖①中，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{EC}$，
∴∠ABE=∠EBG，
∵∠BAE+∠ABE=90°，∠BGA+∠EBG=90°，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BA=BG．

（4）解：如圖②中，連接AC．
由（2）可知，∠FAH=∠FAC，∠GAK=∠GAC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴FC⊥AC，∵FH⊥AB，
∴HF=FC=2.4，同理可證CG=GK=1.6，
∴FG=CF+CG=4．

點評 本題考查圓綜合題、切線的性質、圓周角定理、直徑的性質、角平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．