Question

某市政府出臺了相關政策：由政府協調，本市企業按成本價提供產品給大學畢業生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔．某生按照相關政策投資銷售本市生產的一種新型節能燈．已知這種節能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系近似滿足一次函數：y=﹣10x+500．

（1）該生在開始創業的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？

（2）設李明獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（3）物價部門規定，這種節能燈的銷售單價不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于300元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？

Answer 1

解：（1）當x=20時，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，

300×（12﹣10）=300×2=600，即政府這個月為他承擔的總差價為600元．

（2）依題意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000

∵a=﹣10＜0，∴當x=30時，w有最大值4000．

即當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000．

（3）由題意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x₁=20，x₂=40．

∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下，

∴結合圖象可知：當20≤x≤40時，w≥3000．又∵x≤25，

∴當20≤x≤25時，w≥3000．設政府每個月為他承擔的總差價為p元，

∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．

∵k=﹣20＜0．∴p隨x的增大而減小，

∴當x=25時，p有最小值500．

即銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元．