Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+3的頂點(diǎn)為M（2，-1），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對(duì)稱，求直線CD的解析式；
（3）點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C，B重合），以E為頂點(diǎn)作∠OEF=45°，射線EF交線段OC于點(diǎn)F，當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（4）在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，滿足PM²+PB²+PC²=35，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；并直接寫出此時(shí)直線OP與該拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用頂點(diǎn)式，將已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入其中進(jìn)行求解即可；
（2）由C、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)不難判斷出OB=OC，即∠CBO=45°，那么若取BN⊥x軸交CD于N，結(jié)合“直線CD和直線CA關(guān)于直線CB對(duì)稱”可得出A、N關(guān)于直線BC對(duì)稱，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)以及AB的長(zhǎng)即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，在明確C、N兩點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，直線CD的解析式即可由待定系數(shù)法求得；
（4）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，而M、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)已知，即可得到PM²、PB²、PC²的表達(dá)式，結(jié)合題干的已知條件即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而進(jìn)一步判斷出直線OP與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為線Y=a（x-2）²-1．
∵點(diǎn)B（3，0）在拋物線上，∴0=a（3-2）²-1，
解得：a=1．
則該拋物線的解析式為：y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）在y=x²-4x+3中令x=0，得y=3．
故C（0，3）．
則OB=OC=3．
則∠ABC=45°．
過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸交CD于點(diǎn)N（如圖1），則∠ABC=∠NBC=45°．
∵直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對(duì)稱，
∴∠ACB=∠NCB，
在△ACB和△NCB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NCB=∠ACB}\\{CB=CB}\\{∠NBC=∠ABC}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△NCB（ASA）．
∴BN=BA．
∵A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，B（3，0），
∴A（1，0）．∴BN=BA=2．∴N（3，2）．
設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+3，
則2=3k+3，
解得：k=-$\frac{1}{3}$，
則直線CD的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+3；

（3）當(dāng)EF=OF時(shí)，E（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
當(dāng)OE=EF時(shí)，證明△OBE≌△ECF，E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{6-3\sqrt{2}}{2}$）；

（4）設(shè)P（2，p），∵M(jìn)（2，-1），B（3，0），C（0，3），
∴根據(jù)勾股定理，得PM²=（p+1）²=p²+2p+1，PB²=（3-2）²+p²=p²+1，
PC²=2²+（p-3）²=p²-6p+13，
∵PM²+PB²+PC²=35，
∴p²+2p+1+p²-6p+13=35，
整理，得3p²-4p-20=0，
解得：p₁=-2，p₂=$\frac{10}{3}$．
∴P（2，-2）或（2，$\frac{10}{3}$）．
當(dāng)P（2，$\frac{10}{3}$）時(shí)，直線OP：y=$\frac{5}{3}$x，聯(lián)立拋物線的解析式有：$\frac{5}{3}$x=x²-4x+3，
解得△＞0，與該拋物線有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)P（2，-2）時(shí)，直線OP：y=-x，聯(lián)立拋物線的解析式有：
x²-4x+3=-x，即 x²-3x+3=0
△=（-3）²-4×3＜0，
故該直線與拋物線沒有交點(diǎn)；
綜上，當(dāng)P（2，$\frac{10}{3}$）時(shí)，直線OP與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)P（2，-2）時(shí)，直線OP與拋物線沒有交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 這道二次函數(shù)綜合題考查的內(nèi)容較為常見，主要涉及到：函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式以及函數(shù)圖形交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)，著重基礎(chǔ)內(nèi)容的考查．