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3.如圖1,拋物線y=x2-2x+k與x軸交于點A、B兩點,與y軸交于點C(0,-3)(圖2,圖3為解答備用圖).
(1)k=-3,點A的坐標為(-1,0),點B的坐標為(3,0);
(2)設拋物線y=x2-2x+k的頂點為M,求四邊形ABMC的面積;
(3)在x軸下方的拋物線上是否存在一點D,使四邊形ABDC的面積最大?若存在,請求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.

分析 (1)將C點坐標代入拋物線解析式可求k的值,由拋物線解析式求A,B兩點坐標;
(2)根據A、B、M、N四點坐標,將四邊形分割為兩個三角形和一個梯形求面積;
(3)只要使△DBC面積最大即可,由此求D點坐標;

解答 解:(1)將C(0,-3)代入拋物線y=x2-2x+k中,得k=-3,
∴拋物線解析式為y=x2-2x-3,
令y=0,得x=-1或3,
∴A(-1,0),B(3,0);
故答案為-3,(-1,0),(3,0);

(2)如圖(1),

過M點作MN⊥AB,垂足為N,
由y=x2-2x-3=(x-1)2-4,可知M(1,-4),
∴S四邊形ABMC=S△ACO+S梯形OCMN+S△BMN=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×(3+4)×1+$\frac{1}{2}$×(3-1)×4=9;

(3)存在,如圖(2),

設D(m,m2-2m-3),
過D點作DE⊥AB,垂足為E,則
S四邊形ABDC=S△ACO+S梯形OCDE+S△BDE
=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×[3-(m2-2m-3)]×m+$\frac{1}{2}$×(3-m)×[-(m2-2m-3)]
=-$\frac{3}{2}$m2+$\frac{9}{2}$m+6,
∵-$\frac{3}{2}$<0,
∴當m=-$\frac{\frac{9}{2}}{-3}$=$\frac{3}{2}$時,S四邊形ABDC最大,此時D($\frac{3}{2}$,-$\frac{15}{4}$).

點評 本題考查了二次函數的綜合運用.關鍵是根據題意求拋物線解析式,將四邊形分割為三角形與梯形的面積和求解,同時考查了坐標系中,線段的垂直關系.

練習冊系列答案
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∵$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$=$\frac{b-a}{ab}$,且0<a<b.
∴ab>0,b-a>0.
∴$\frac{b-a}{ab}$>0.∴$\frac{1}{a}$>$\frac{1}{b}$.
這說明0<a<b時,$\frac{1}{a}$>$\frac{1}{b}$,也即:自變量增大了,對應的函數值反而減小了,也就說明x>0時,y隨x的增大而減小.
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