Question

8．以反比例函數y=$\frac{1}{x}$（x＞0）為例，可用說理的方式解釋y隨x的增大而減小的原因，如圖，當x＞0時，在函數圖象上任取兩點A（a，$\frac{1}{a}$），B（b，$\frac{1}{b}$），且0＜a＜b，僅需比較$\frac{1}{a}$與$\frac{1}{b}$大小即可．
∵$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$=$\frac{b-a}{ab}$，且0＜a＜b．
∴ab＞0，b-a＞0．
∴$\frac{b-a}{ab}$＞0．∴$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$．
這說明0＜a＜b時，$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$，也即：自變量增大了，對應的函數值反而減小了，也就說明x＞0時，y隨x的增大而減小．
（1）試說明：二次函數y=-x²在x＞0時，y隨x的增大而減小．
（2）試說明：二次函數y=ax²（a≠0）的圖象關于y軸對稱．
（3）二次函數y=ax²+bx+c（a＞0，且a，b，c為常數）的圖象如圖2所示，請用上述方法解釋；為何其函數圖象在直線x=-$\frac{b}{2a}$右側的部分，y隨著x的增大而增大． 

Answer 1

分析 （1）理解材料的基礎上，仿照材料解決問題，
（2）函數圖象上取一點，確定出該點關于y軸的對稱點，再判斷也在拋物線上，即可；
（3）在拋物線上當x＜-$\frac{b}{2a}$的圖象上取連點A（m，am²+bm+c），B（n，an²+bn+c），判斷出am²+bm+c-（an²+bn+c）＜0即可．

解答 解：（1）當x＞0時，在函數圖象上任取兩點A（m，-m²），B（n，-n²），且0＜n＜m，
∵-m²-（-n^2）=-（m+n）（m-n）且0＜n＜m．
∴（m+n）＞0，（m-n）＜0．
∴-（m+n）（m-n）＞0．
∴-m²＞-n²．
這說明0＜n＜m時，-m²＞-n²，也即：自變量增大了，對應的函數值反而減小了，也就說明x＞0時，y隨x的增大而減小．
（2）在拋物線上取點A（b，ab²），
∴點A關于y軸的對稱點B（-b，ab²），
把x=-b代入拋物線y=ax²，
∴y=ab²，
∴點B在拋物線上，
∴二次函數y=ax²（a≠0）的圖象關于y軸對稱．
（3）二次函數y=ax²+bx+c（a＞0，且a，b，c為常數）的圖象如圖2所示，請用上述方法解釋；為何其函數圖象在直線x=-$\frac{b}{2a}$右側的部分，y隨著x的增大而增大．
當x＜-$\frac{b}{2a}$時，在函數圖象上取兩點A（m，am²+bm+c），B（n，an²+bn+c），（m＞n＞-$\frac{b}{2a}$）
∴am²+bm+c-（an²+bn+c）=（m-n）（am+an+b），
∵x＜-$\frac{b}{2a}$，a＞0，
∴ax＜-$\frac{1}{2}$b，
∴am＜-$\frac{1}{2}$b，an＜-$\frac{1}{2}$b，
∴am+an+b＜-$\frac{1}{2}$b-$\frac{1}{2}$b+b=0，
∵m＞n，
∴m-n＞0，
∴am²+bm+c-（an²+bn+c）=（m-n）（am+an+b）＜0，
∴二次函數y=ax²+bx+c（a＞0，且a，b，c為常數）的圖象在直線x=-$\frac{b}{2a}$右側的部分，y隨著x的增大而增大．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了二次函數的對稱性，理解和運用材料提供的方法解決問題，解本題的關鍵是讀懂材料提供的方法，來解決問題．