Question

18．二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）圖象如圖，下列結論：
①abc＜0；②2a+b=0；③當m≠1時，a+b＞am²+bm；④若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，
且x₁≠x₂，則x₁+x₂=2．其中正確的有①②③④．

Answer 1

分析 根據二次函數的圖象開口向下推出a＜0，根據二次函數的圖形與y軸的交點在y軸的正半軸上推出c＞0，根據二次函數的圖象的對稱軸是直線x=1得出-$\frac{b}{2a}$=1，求出b=-2a＞0，即可判斷①②；根據拋物線的最大值y=a+b+c，得到a+b+c＞am+bm+c（m≠1），即可判斷③；根據對稱點求得對稱軸為x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，即可求得x₁+x₂=2，即可判斷④．

解答 解：∵二次函數的圖象開口向下，
∴a＜0，
∵二次函數的圖形與y軸的交點在y軸的正半軸上，
∴c＞0，
∵二次函數的圖象的對稱軸是直線x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
b=-2a＞0，
∴abc＜0，故①正確；
∵b=-2a，
∴2a+b=0，故②正確；
∵二次函數的圖象的對稱軸是直線x=1，開口向下，
∴函數的最大值y=a+b+c，
∴a+b+c＞am+bm+c（m≠1），
∴a+b＞am+bm，故③正確；
∵ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，
∴對稱軸為x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，
∴x₁+x₂=2，故④正確．
故答案為①②③④．

點評 本題考查了二次函數的圖象和系數的關系，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意用了數形結合思想，二次函數的圖象開口方向決定a的符號，拋物線有最大值，二次函數的圖形與y軸的交點位置決定c的符號，根據二次函數的圖象的對稱軸是直線x=1得出-$\frac{b}{2a}$=1．