Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3經過點A（2，﹣3），與x軸負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC＝3OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸上有一點P，使PB+PC的值最小，求點P的坐標；

（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）點P的坐標；（3）M

【解析】

（1）待定系數法即可得到結論；

（2）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得M在對稱軸上，根據兩點之間線段最短，可得M點在線段AB上，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；

（3）設M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB為邊，則AB∥MN，AB=MN，如圖2，過M作ME⊥對稱軸于E，AF⊥x軸于F，于是得到△ABF≌△NME，證得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，5）；②以AB為對角線，BN=AM，BN∥AM，如圖3，則N在x軸上，M與C重合，于是得到結論．

（1）由得，

把代入，

得，

，

拋物線的解析式為；

（2）連接AB與對稱軸直線x=1的交點即為P點的坐標（對稱取最值），

設直線AB的解析式為,

將A（2，-3），B（-1，0）代入，得y=-x-1，

將x=1代入，得x=-2，

所以點P的坐標為（1，-2）；

（3）設M（）

①以AB為邊，則AB∥MN，如圖2，

過M作對稱軸y于E，AF軸于F，

則

或,

或

∥AM，

如圖3，

則N在x軸上，M與C重合，

綜上所述，存在以點ABMN為頂點的四邊形是平行四邊形，

或或