Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點A（-3，0），與y軸交于點B（0，4），在第一象限內有一點P（m,n)，且滿足4m+3n=12.

（1）求二次函數解析式.

（2）若以點P為圓心的圓與直線AB、x軸相切，求點P的坐標.

（3）若點A關于y軸的對稱點為點A′，點C在對稱軸上，且2∠CBA+∠PA′O=90.求點C的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(,)；（3）C(-3,-5)或 (-3，)

【解析】

（1）設頂點式，將B點代入即可求；

（2）根據4m+3n=12確定點P所在直線的解析式，再根據內切線的性質可知P點在∠BAO的角平分線上，求兩線交點坐標即為P點坐標；

（3）根據角之間的關系確定C在∠DBA的角平分線與對稱軸的交點或∠ABO的角平分線與對稱軸的交點，通過求角平分線的解析式即可求.

（1）∵拋物線的頂點坐標為A(-3,0),

設二次函數解析式為y=a(x+3)2，

將B（0，4）代入得，4=9a

∴a=

∴

（2）如圖

∵P（m,n)，且滿足4m+3n=12

∴

∴點P在第一象限的上，

∵以點P為圓心的圓與直線AB、x軸相切，

∴點P在∠BAO的角平分線上，

∠BAO的角平分線：y=，

∴，

∴x=,∴y=

∴P(,)

(3)C(-3,-5)或 (-3，)理由如下：

如圖，A(3，0),可得直線LAB的表達式為 ，

∴P點在直線AB上，

∵∠PAO=∠ABO=∠BAG, 2∠CBA+∠PA′O=90°,

∴2∠CBA=90°-∠PA′O=∠GAB,

在對稱軸上取點D,使∠DBA=∠DAB,作BE⊥AG于G點,

設D點坐標為(-3,t)

則有(4-t)2+32=t2

t= ,

∴D(-3,),

作∠DBA的角平分線交AG于點C即為所求點，設為C1

∠DBA的角平分線BC1的解析式為y=x+4,

∴C1的坐標為 (-3, )；

同理作∠ABO的角平分線交AG于點C即為所求，設為C2，

∠ABO的角平分線BC2的解析式為y=3x+4,

∴C2的坐標為(-3,-5).

綜上所述，點C的坐標為(-3, )或(-3,-5).