Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點A順時針旋轉一定的角度得到△AED，點B、C的對應點分別是E、D.

(1)如圖1，當點E恰好在AC上時，求∠CDE的度數；

(2)如圖2，若=60°時，點F是邊AC中點，求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）證明見解析.

【解析】

（1）如圖1，利用旋轉的性質得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根據等腰三角形的性質求出∠ADC，從而計算出∠CDE的度數；

（2）如圖2，利用直角三角形斜邊上的中線性質得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到BC＝AC，則BF＝BC，再根據旋轉的性質得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，從而得到DE＝BF，△ACD和△BAE為等邊三角形，接著由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根據平行四邊形的判定方法得到結論．

解：（1）如圖1，∵△ABC繞點A順時針旋轉α得到△AED，點E恰好在AC上，

∴CA＝CD，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，

∵CA＝DA，

∴∠ACD＝∠ADC＝（180°30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，

∴∠CDE＝75°60°＝15°；

（2）證明：如圖2，

∵點F是邊AC中點，

∴BF＝AC，

∵∠BAC＝30°，

∴BC＝AC，

∴BF＝BC，

∵△ABC繞點A順時針旋轉60°得到△AED，

∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，

∴DE＝BF，△ACD和△BAE為等邊三角形，

∴BE＝AB，

∵點F為△ACD的邊AC的中點，

∴DF⊥AC，

易證得△AFD≌△CBA，

∴DF＝BA，

∴DF＝BE，

而BF＝DE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形．