Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=4，D為AB上一點，DE⊥AC于點E,DE=1,P為CE上一動點，設CP的長為a.

（1）求CE的長；

（2）a為何值時，△DEP與△BCP相似？

（3）當PD+PB有最小值時，求a的值及最小值.

Answer 1

【答案】（1）CE=12；（2）a的值為或6+4或6-；（3）13.

【解析】

（1）證明三角形ADE與三角形ABC相似，根據對應邊成比例，且AE=16-CE，可解得CE的值.

（2）此時分為兩種情況進行談論，分別是△DEP∽△BCP與△DEP∽△PCB.

（3）找到B點關于AC的對稱點F，當D與F在同一直線上時，PD+PB最短.

（1）∵DE⊥AC ∠AED=90°=∠ACB 又∠A公共

∴△ADE∽△ABC ∴ 即，CE=12.

（2）分兩種情況：①△DEP∽△BCP，此時，即，a=

②△DEP∽△PCB，此時，即，，

∴a的值為或6+4或6-.

（3）

延長BC至點F，使CF=CB，連接DF交CE于點P，如圖：

∠DPE=∠CPF，∠DEP=∠PCF，則△DEP∽△FCP

于是，得 a=.

此時BP=，DP=，最小值為13.