Question

【題目】如圖，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°.

(1)求證：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；

(2)若點D是的中點，求證：四邊形OADB是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據圓心角、弧、弦的關系，由得AB=AC，加上∠ACB=60°，則可判斷△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=CA，于是根據圓心角、弧、弦的關系即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC；

（2）連接OD，如圖，由D是的中點得，則根據圓周角定理得∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，易得△OAD和△OBD都是等邊三角形，則OA=AD=OD，OB=BD=OD，所以OA=AD=DB=BO，于是可判斷四邊形OADB是菱形．

（1）∵，

∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，

又∠ACB＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，AB＝BC＝CA，

∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；

（2）如圖，連接OD，

∵D是的中點，

∴ .

∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝∠ACB＝60°，

又OD＝OA，OD＝OB，

∴△OAD和△OBD都是等邊三角形，

∴OA＝AD＝OD，OB＝BD＝OD，

∴OA＝AD＝DB＝BO，

∴四邊形OADB是菱形．