Question

【題目】有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長邊稱為智慧邊，這兩邊的夾角叫做智慧角．

（1）已知為智慧三角形，且的一邊長為，則該智慧三角形的面積為_________；

（2）如圖①，在中，，，求證：是智慧三角形；

（3）如圖②，是智慧三角形，為智慧邊，為智慧角，，點在函數(shù)（）的圖象上，點在點的上方，且點的縱坐標(biāo)為，當(dāng)是直角三角形時，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，1，；（2）見解析；（3）或

【解析】

（1）由于不確定是哪條邊的邊長，故需分3種情況討論，每種情況中，不確定長的邊是否為智慧邊，故又需要分類討論；

（2）過C作AB邊的垂線CD，構(gòu)造兩個有特殊角的直角三角形，即能用CD把各邊關(guān)系表示出來，易得BC是AC的倍，即可得證；

（3）由題意可知，因此當(dāng)△ABC為直角三角形時，AB不可能為斜邊，即只分或，兩種情況討論，做輔助線構(gòu)造三垂直模型，證得相似或全等三角形，再利用對應(yīng)邊的關(guān)系把B、C的坐標(biāo)表示出來，再代入計算．

解：（1）如圖2，設(shè)

①若

1）

2),則

②若

1），即

2），則

③若，則

故答案為：，，1，

（2）如圖2，過點作于點．

在中，，

∴．

在中，，

∴．

∴．

∴是智慧三角形．

（3）由題意可知或．

①當(dāng)時，如圖3，

過點作軸于點，過點作交延長線于點，過點作軸于點，則．

∴．

∴．

∴．

∴．

設(shè)，則．

∵，

∴．

∵，，

∴，．

∵點在函數(shù)的圖象上，

∴．

解得：，（舍去）．

∴．

②當(dāng)時，如圖4，過點作軸于點，過點作軸于點．

則．

∴．

∴．

由（1）知．

∴是等腰直角三角形．

∴．由①知．

∴．

∴．

設(shè)，則．

∴，．

∵點在函數(shù)（）的圖象上，

．

解得：．

∴．

綜上所述，或．