Question

已知四邊形ABCD，以此四邊形的四條邊為邊向外分別作正方形，順次連結這四個正方形的對角線交點E，F，G，H，得到一個新四邊形EFGH.

（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，則四邊形EFGH（    ）（填“是”或“不是”）正方形；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是矩形，則（1）中的結論（    ）（填“能”或“不能”）成立；
（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，其他條件不變， 判斷（1）中的結論是否還成立？若成立，證明你的結論，若不成立，請說明你的理由.

Answer 1

（1）是 ； （2）能 ；
（3）證明：連結EF，FG，GH，HE，AE，AH，DG，DH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=CD，即以AB，CD分別為邊的正方形的對角線也相等.
∵點E，G是上述兩個正方形的對角線交點，
∴AE=DG.
∵點H是以AD為一邊的正方形的對角線交點,
∴AH=DH. 易知
∵平行四邊形ABCD中，有
∴
∴
∴
∴HG=HE且 
同理可證HE=EF=FG. ∴四邊形EFGH是菱形.
∵點H是正方形的對角線交點, ∴, 即.
∴.
∴四邊形EFGH是正方形.