Question

如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點，F是BC的中點，AF與DE相交于G，BD和AF相交于H，那么四邊形BEGH的面積是（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  5

• C、

  7

  15

• D、

  8

  15

Answer 1

分析：根據BC∥AD，可證△ADH∽△FBH，可以計算△ADH的面積，根據△AEG∽△DEA可以求△AEG的面積，即可解題．

解答：解：∵BC∥AD，
∴△BFH∽△DAH，且相似比為1：2，
∴△ADH的面積為

1

2

×2×

4

3

=

4

3

，△FBH的面積為

1

2

×1×

2

3

=

1

3

，
又∵

AB=AD ∠ABF=∠DAE AE=BF

，
∴△ABF≌△DAE，（SAS）
∴∠BAF=∠ADE，∠BAF+∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∴△AEG∽△EDA，
∴

EG

AG

=

AE

AD

，

AG

AD

=

AE

DE

，
解得AG=

2 5

5

，EG=

5

5

，
∴△AEG的面積=

1

5

，
∴四邊形BEGH=

1

2

×2×2-

1

5

-

4

3

=

7

15

．
故選C．

點評：本題考查了相似三角形對應邊比值相等的性質，全等三角形的判定和全等三角形對應角相等的性質，本題中求△AEG，△ABH的面積是解題的關鍵，難度較大，注意知識點的融會貫通．