Question

如圖，ABCD中，EF過AC的中點O，與邊AD、BC分別相交于點E、F，
①證明：△AOE≌△COF
②證明：四邊形AECF是平行四邊形；
③在已知條件外，請你再添加一個條件，使四邊形AECF是矩形．

Answer 1

①證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），
∴AD∥BC（平行四邊形的對邊平行），
OA=OC（平行四邊形的對角線互相平分），
∴∠1=∠2，∠3=∠4（兩直線平行，內錯角相等），
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
②證明：由①得：△AOE≌△COF，
∴OE=OF（全等三角形的對應邊相等），
又OA=OC（已證），
∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形為平行四邊形）；
③解：若添加AC=EF，
理由：由②得四邊形AECF是平行四邊形，且對角線AC=EF，
∴AECF為矩形（對角線相等的平行四邊形為矩形）；
若添加AF⊥BC，
理由：由②得四邊形AECF是平行四邊形，
又AF⊥BC，∴∠AFC=90°（垂直定義），
∴AECF為矩形（有一個角為直角的平行四邊形為矩形）．